علم الرياضيات ملكة العلوم وخادمتها هنا ستجد اهم وابرز المواضيع في علم الرياضيات وهو اختصاصي

[11:40 م | 0 التعليقات ]

رياضيات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

اذهب إلى: تصفح, البحث

بوابة رياضيات

إقليدس، من أبرز العلماء والمفكّرين اليونانين

الرياضيات^[1] علم مواضيعه مفاهيم مجردة والاصطلاحات الرياضية تدل على الكم، والعدد يدلّ على كمية المعدود والمقدار قابل للزيادة أو النقصان وعندما نستطيع قياس المقدار نطلق عليه اسم الكم. لذلك عرف بعض العلماء الرياضيات بأنه علم القياس. تعتبر الرياضيات لغة العلوم إذ أن هذه العلوم لا تكتمل إلا عندما نحول نتائجها إلى معادلات ونحول ثوابتها إلى خطوط بيانية.
تعرف الرياضيات بأنها دراسة القياس والحساب والهندسة. هذا بالإضافة إلى المفاهيم الحديثة نسبيا ومنها البنية، الفضاء أو الفراغ، والتغير والأبعاد. وبشكل عام قد يعرفها البعض على أنها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق والبراهين الرياضية والتدوين الرياضي. وبشكل أكثر عمومية، قد تعرف الرياضيات أيضا على أنها دراسة الأعداد وأنماطها.
و لقد نشأت الرياضيات بقيام الإنسان بقياس ما يشاهده من ظواهر الطبيعة بناء على فطرة وخاصية في الإنسان ألا وهي اهتمامه بقياس كل ما حوله إلى جانب احتياجاته العملية فهكذا كان هناك ضرورة لقياس قسمة المقوتة (الطعام) بين أفراد العائلة وقياس الوقت والفصول والمحاصيل الزراعية تقسيم الأراضي وغنائم الحملات الحربية والمحاسبة للتمكن من الإتجار إلى جانب علم الملاحة بالنجوم في السفر والترحال للتجارة والاستكشاف والقياسات اللازمة لتشييد الأبنية والمدن.
و هكذا فإن البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود أصلها إلى العلوم الطبيعية، وخاصة علم الطبيعة، ولكن الرياضيين يقومون بتعريف ودراسة بنى أخرى لأغراض رياضية بحتة، لأن هذه البنى قد توفر تعميما لحقول أخرى من الرياضيات مثلا، أو أن تكون عاملا مساعدا في حسابات معينة، وأخيرا فإن الرياضيين قد يدرسون حقولا معينة من الرياضيات لتحمسهم لها، معتبرين أن الرياضيات هي فن وليس علما تطبيقيا.
فللرياضيات دور بارز في علوم المادّة (أي الفيزياء والكيمياء) وعلم الأحياء (البيولوجيا)، فضلاً عن دوره المتميز في العلوم الإنسانية.
تاريخ الرياضيات

مخطوطة مصرية قديمة لأحمس

مقال تفصيلي :تاريخ الرياضيات

كان الكتبة البابليون منذ أكثر من 3000 عاما يمارسون كتابة الأعداد وحساب الفوائد ولاسيما في الأعمال التجارية ببابل. وكانت الأعداد والعمليات الحسابية تدون فوق ألواح الصلصال بقلم من البوص المدبب. ثم توضع في الفرن لتجف. وكانوا يعرفون الجمع والضرب والطرح والقسمة. ولم يكونوا يستخدمون فيها النظام العشري المتبع حاليا مما زادها صعوبة حيث كانوا يتبعون النظام الستيني الذي يتكون من 60 رمزا للدلالة علي الأعداد من 1-60. وطور قدماء المصريين هذا النظام في مسح الأراضي بعد كل فيضان لتقدير الضرائب. كما كانوا يتبعون النظام العشري وهو العد بالآحاد والعشرات والمئات. لكنهم لم يعرفوا الصفر. لهذا كانوا يكتبون 600 بوضع 6 رموز يعبر كل رمز على 100.

الرياضيات في علوم المادة

يبقى علم الفيزياء علما استقرائياً يعتمد في الأساس على مراقبة الظواهر الطبيعية واختبارها، ويستطيع في أقصى حده التعبير عن القوانين بلغة رياضية، فتكون الرياضيات في مجال علوم المادة لغة تعبير أكثر منها منهج اكتشاف، وهناك حالات عديدة كانت الرياضيات فيها أسلوب اكتشاف وبرهنة. فقد اكتشف "ليفيرييه" (أحد العلماء) بالحسابات الرياضية مكان كوكب نبتون وبعده وكتلته قبل التحقق من وجوده الفعلي بالرصد وكان الفكر الرياضي عند "نيوتن" و"أينشتاين" سابقا إلى حد كبير على الاختبار، لكن يبقى الاختبار الضامن الأخير لصحة الاكتشافات في علوم المادة. أما فرضية تحويل الكون برمته إلى معادلة رياضية كبرى فيبقى حلماَ راود أذهان الفلاسفة والعلماء أمثال "ديكارت"، ولكن هذا الهدف الكبير يبقى مجرّد فرضيّة دونها صعوبات وتجاذبات علمية وفلسفية. فالعالم لا يستطيع استعمال المنهج الرياضي الاستنباطي في سائر العلوم إلا إذا سلب الواقع كثيرا من مضمونه.
فاللغة الرياضية توفر للقوانين العلمية مزيدا من الدقة، ومن أبرز الأمثلة على دور الرياضيات في علوم المادة: قياس سرعة الرياح، وقياس قوة الزلازل، وقياس الضعط الجوي.

الرياضيات في علوم الأحياء

إن نجاح المنهج الاختباري في علوم الأحياء هيأها لاستعمال اللغة الرياضية الرائجة جدا في مجال العلوم الفيزيوكيميائية. ولقد عارض بعض العلماء هذا داعيين إلى الحذر وعدم إقحام الرياضيات في علوم الأحياء قبل أن تمر هذه الأخيرة بشكل واف على مشرحة التحليل. فالعلم الذي يبلغ مبلغا كافيا من التطور هو الذي يمكن أن يطمح إلى هذه الدرجة العلمية الرياضية.
و كان علم الوراثة الأول من علوم الأحياء الذي اتبع علوم المادة في مسارها الرياضي، وقد طبقت قوانين "مندل" في المجال الحيواني بقصد تأصيل بعض الحيوانات وعزل خصائص معينة كاللون والشكل والقد. وركز العالم "مورغان" اختياراته على ذبابة الدروزوفيل فتوصل إلى تحديد الجينات الوراثية في كروموزومات نواة الخلية.
إن علماء البيولوجيا يعتبرون الإحصاءات الرياضية بمثابة استقصاء وشرح متميز للمعطيات الطبية. فإن قياس الثوابت البيلوجية والتسجيلات البيانية تشكل لغة شائعة جدا في علوم الأحياء. فتخطيط الدماغ، وتخطيط القلب، وقياس نسبة الزلال، وقياس ثابة السكر في الدم، وإحصاء عدد كريات الدم الحمراء والبيضاء، وقياس النمو والوزن كلها دلائل على دخول الرياضيات في علوم الأحياء.

الرياضيات في العلوم الإنسانية

إن العلوم الإنسانية هي التي تضم علم الاقتصاد، والاجتماع، والتاريخ، والنفس، والأخلاق وما سواها. فالمجتمعات الصناعية تعتمد على اللغة الرياضية من أجل تطوير الواقع الذي تعيش فيه، فالاقتصاد يقوم على التخطيط الذي يعتبر أسلوب للسيطرة على اقتصاد البلد ومحوره الأساسي الرياضيات. كذلك علم الاجتماع الذي يرتكز على الاستبيان والجداول الإحصائية والخطوط البيانية أثناء دراسة لحالة فقر أو نسبة الهجرة السكانية إلى الخارج أو نسبة البطالة. أما بالنسبة للتاريخ، فالرياضيات تجعل عملية التأريخ أكثر موضوعية ودقة من خلال تحديد الفترة الزمنية لحادثة ما وتدوين نتائجها على مختلف الصعد. وتستخدم اللغة الرقمية في العديد من الدراسات لعلم النفس خاصة عندى قياس الفروقات الفردية ونسبة الذكاء. غير أن الرياضيات لا تستطيع الدخول على علم الأخلاق بسبب الموضوعات التي يحويها كالإرادة والضمير والحرية والمسؤولية والحق والواجب، فهي بالأمور المعنوية التي لا يصح معها استعمال القياس أو الكم.
تقسيم أولى لفروع الرياضيات

العالم المسلم الخوارزمي مؤسس علم الجبر

من الرياضيات البحتة

من فروع المنطق :
المنطق المجرد.
الجبر المنطقي أو الجبر البولياني وينبع منه
منطق القضايا.
منطق الرتبة الأولى يحتوى هذا الفرع على القواعد والأصول اللازمة لصياغة نظريات الذكاء الاصطناعي وهو يعتمد بدوره على مبادئ المنطق البولياني ومنطق القضايا.
المنطق الوقتي.
المنطق الضبابي.
نظرية الاعتقاد.
المنطق القافي.

من فروع الرياضيات المتقطعة:
اللغات الشكلية ونظرية الآليات
نظرية المخططات وهي دراسة نظم ذات بنية شبكية وتتضمن على دراسة الشبكات وعبور المخططات والشجر وأطياف المخططات وغير ذلك.
نظرية المجموعات المبسطة.
نظرية الأعداد.

من فروع الجبر:
جبر الأعداد الحقيقية (الجبر والمقابلة للخوارزمي).
الجبر المجرد (يشتمل على القواعد المنطقية لحساب مختلف مجموعات الأعداد مثل حساب الأعداد الحقيقية والمركبة إلخ)
نظرية الزمر.
حساب المجموعات (الفئات).
حساب المتتاليات.
حساب المتجهات.
الجبر الخطي.
حساب المصفوفات.
جبر بول
ما وراء الرياضيات : ويشتمل ذلك على سبيل المثال على نظرية جودل وبحوث هيلبرت وبرتراند راسل حول تعريف وتبويب بنية الرياضات بأجمعها.

من فروع التحليل:
الحساب المتناهي (حساب التفاضل والتكامل).
المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية.
تحليل الأعداد الحقيقية.
التحليل العددي.
التحليل التوافقي.
التحليل الدالي.
نظرية الدالات أو تحليل الدالات المركبة.
التحليل اللا-قياسي.
نظرية القياس.

من الرياضيات التطبيقية

نظرية الألعاب ولها تطبيقات في الاقتصاد وعلوم الإدارة والتخطيط.
علم الاحتمالات والإحصائيات.
علم النظم
نظرية الشواش والنظم اللا- خطية.
نظرية التحكم الآلي.
علوم الحاسبات الآلية:
- نظرية الحوسبة.
- تحليل الخوارزميات.
- الذكاء الاصطناعي.
  - التعلم الآلى ويشتمل على
    - نظريات التعلم التواصلى والشبكات العصبية أو العصبونية.
    - نظريات التعلم التطورى: البرمجة والخوارزميات الوراثية والتطورية.
  - الإثبات الآلى للنظريات.
  - البحث المتوالى والمتوازي وفوز المباريات.
- تصميم الدارات المنطقية.
- علم المعلومات أو العلوم المعلوماتية.
- علم إدارة نظم المعلومات.
- علوم البرمجيات.
الاستمثال استمثال تعرف فروع هذا القسم بالبرمجة للإشارة إلى أن المراد هي إيجاد أدنى حلول للمعادلات تحت التحليل مثلا تحليل سيمبلكس.
- البرمجة الخطية.
- البرمجة الكاملة.
- البرمجة المتحركة.
بحوث العمليات.
علوم الطبيعة الرياضياتية : وتشمل على فروع العلوم والنظريات الطبيعية التي تعتمد بالأساس في صياغتها على التحليل والبرهنة الرياضية أكثر من قياس التجارب والظواهر الطبيعية ومنها
- نظرية الكم أو النظرية الكمومية أو علم الحركيات الكمية.
- الميكانيكا أو الحركيات الإحصائية.
- ومنها أيضا دراسة حلول الدالات المجهولة في التصميم الهندسي والصناعي والتي تعتمد على حساب المعادلات التفاضلية التي تصف النظم تحت التصميم.
- ميكانيكا هاملتون.
- التحليل العددي.
علم الشفرات.

تقسيم فروع الرياضيات حول موضوع الدراسة الأساسي

الكمية

$1, 2, \ldots$	$0, 1, -1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$
أعداد طبيعية	أعداد صحيحة	أعداد كسرية
$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
أعداد حقيقية	أعداد مركبة أو عقدية

عدد – عدد طبيعي – عدد صحيح – عدد كسري – عدد حقيقي – عدد عقدي – عدد فوق عقدي – كواتيرنيون – اوكتونيون – سيدينيون – عدد فوق حقيقي – عدد حقيقي فائق – عدد ترتيبي – عدد كمي – عدد بي – متوالية صحيحة – ثابت رياضي – أسماء الأعداد – اللانهاية – الأساس (رياضيات)

التغير

$36 \div 9 = 4$
حساب	تكامل

تكامل شعاعي
$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$	$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
تحليل رياضي	معادلات تفاضلية

جمل متحركة (ديناميكية)	نظرية الشواش

الحساب – علم الحسبان – الحسبان الشعاعي – التحليل الرياضي – معادلات تفاضلية – جمل متحركة – نظرية الشواش – قائمة الدوال (التوابع)

البنية

جبر تجريدي – نظرية الأعداد – هندسة جبرية – نظرية المجموعات – مونويد – التحليل الرياضي – الطوبولوجيا – الجبر الخطي – نظرية المخططات – الجبر الشامل – نظرية الزمر – نظرية الترتيب – نظرية القياس

العلاقات الفراغية


طوبولوجيا	هندسة رياضية

هندسة تفاضلية	علم المثلثات

هندسة كسيرية

طوبولوجيا – هندسة رياضية – علم المثلثات – هندسة جبرية – هندسة تفاضلية – طبولوجيا تفاضلية – طوبولوجيا جبرية – جبر خطي – هندسة كسيرية

الرياضيات المتقطعة


نظرية المجموعات المبسطة	نظرية الحوسبة

علم التعمية	نظرية المخططات

التوافقيات – نظرية المجموعات المبسطة – نظرية الحوسبة– علم التعمية –

رياضيات تطبيقية

الميكانيك – تحليل عددي – استمثال رياضي – احتمال – إحصاء – رياضيات اقتصادية – نظرية الألعاب – البيولوجيا الرياضية – علم التعمية – نظرية المعلومات – ميكانيك السوائل

المبرهنات والحدسيات الهامة

مبرهنة فيثاغورث – مبرهنة طاليس –مبرهنة الكاشي –مبرهنة فيرما الأخيرة – حدسية غولدباخ – حدسية التوأمين الأولية – مبرهنة عدم الاكتمال لغودل – حدسية بوانكاريه – قطر كانتور – مبرهنة الألوان الأربعة – قضية زورن المساعدة – هوية اويلر – أطروحة تشرش-تورينغ

فرضية ريمان – فرضية الاستمرارية – P=NP – مبرهنة الحد المركزية – المبرهنة الأساسية في التكامل – المبرهنة الأساسية في الجبر – المبرهنة الأساسية في الحساب – المبرهنة الأساسية في الهندسة الإسقاطية – مبرهنات تصنيف السطوح – مبرهنة غاوس-بونيت

بعض أعلام الرياضيات

من أهم مطورى الرياضيات القديمة والحديثة :

ارتباطات خارجية

Free Mathematics books Free Mathematics books collection.
Encyclopaedia of Mathematics online encyclopaedia from Springer, Graduate-level reference work with over 8,000 entries, illuminating nearly 50,000 notions in mathematics.
HyperMath site at Georgia State University
FreeScience Library The mathematics section of FreeScience library
Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. A guided tour through the various branches of modern

في هذا الجزء الاول لموضوعي سوف اختم البحث ومقدمتي عن علم الرياضيات ببدايه واهم مواضيعه وهو المنطق او اللوجيك logic

المنطق رياضي

عناصر المنطق

جملة

الجملة في مجموعة حروف ورموز لها معنى, مثال:

2+3=5
5*9=45

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

[عبارة

تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى ويكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية (خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى ويحتوي على متغير ويصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة
جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا 1) 2+3=7 2) صنعاء عاصمة اليمن 3) مجموع زوايا المثلث 180 ْ ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل : 1) ما أجمل السماء ! 2) كم الساعة ؟

[ النفي

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, وخاطئة إذا كانت P صحيحة. ونرمز لنفي P ب $\neg P$ .

جدول الحقيقة
P	$\neg P$
0	1
1	0

[ العطف

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب $P \wedge Q$

جدول الحقيقة
P	Q	$P \wedge Q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[الفصل

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب $P \vee Q$

جدول الحقيقة
P	Q	$P \vee Q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

[الاستلزام

تكون العبارة P تستلزم Q، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.
و نرمز لها ب: $Q \Leftarrow P$ وهي تكافئ العبارة: $\neg P \vee Q$ .

جدول الحقيقة
P	Q	$Q \Leftarrow P$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

[ التكافؤ

تكافؤ العبارتين $P\,$ و $Q\,$ هو $(Q \Leftarrow P) \wedge (P \Leftarrow Q)$ , ونرمز له ب: $Q \Leftrightarrow P$

جدول الحقيقة
P	Q	$Q \Leftrightarrow P$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[ القوانين المنطقية

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية وتكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.
أمثلة:

$\neg (\neg P) \Leftrightarrow P$
$(P \wedge Q) \Leftrightarrow (Q \wedge P)$
$\neg (P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)$
$\neg (P \vee Q) \Leftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)$

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين ديمورجان [De Morgan's laws].

[دوال العبارة

الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح وخطأ.
مثال:
بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من $\mathbb{N}\$ إلى $\{0,1\}\,$ بحيث:
$\begin{matrix} \mathbb{N}\ \rightarrow \{0,1\} \\ 0 \mapsto 0 \\ 7 \mapsto 1 \end{matrix}$

[ الكموميات

هناك نوعان وجودية وكونية.

الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من $\mathbb{N}\$ بحيث: $x^2-1=0 \,$

نرمز للوجودية بالرمز $\exists$ .

الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من $\mathbb{R}\$ لدينا $(x+1)^2=x^2+2x+1 \,$

نرمز للكونية بالرمز $\forall$ .

[الكموميات والروابط المنطقية

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:
$\neg [(\forall x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\exists x \in\ E) \neg A(x)]$
$\neg [(\exists x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\forall x \in\ E) \neg A(x)]$
مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.

الاستلزام والتضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.
و نكتب:
$A \subset E$
نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E. ==مجموعة الأجزاء== ويكتب المنطق ب7888

مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء, وهذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

التساوي والتكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

المتمم والنفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.
علق حاتم على هذه فقال :
المتممة أمر نسبي
قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "
مثال
إذا كانت
المجموعة الشاملة = ش
ش = { 1 ،9، 5، 3، 2 }
أ = { 1، 9 }
متمم أ هو ب
ب = { 5، 3، 2 }
لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ
x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

التقاطع والعطف

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: $A \cap B\,$ .
x من C يكافئ: x من A و x من B.

[عدل] الاتحاد والفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, والتي نرمز لها ب: $A \cup B$ .
x من C يكافئ: x من A أو x من B. =خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء=

الفرق

ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B $A-B = \{a: (a\in\ A) \wedge (a\notin\ B)\}$

الفرق المتماثل

تطبيق في البرهنة الرياضية

برهنة: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:
x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B في هذه الحالة علينا أن نبرهن:
$x \in (A \cap (B \cup C)) \Leftrightarrow x \in ((A \cap B) \cup (A\cap C))$
برهان:
$x \in(A \cap (B \cup C)) \overset{1}{\Leftrightarrow}$
$(x \in A) \and (x \in (B \cup C)) \overset{2}{\Leftrightarrow}$
$(x \in A) \and ((x \in B) \or (x \in C)) \overset{3}{\Leftrightarrow}$
$((x \in A) \and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C)) \overset{4}{\Leftrightarrow}$
$(x \in (A \cap B)) \or (x \in (A \cap C)) \overset{5}{\Leftrightarrow}$
$x \in ((A \cap B) \cup (A\cap C))$
شرح الخطوات:
1و4- حسب تعريف التقاطع $x \in (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A) \and (x \in B)$
2و5- حسب تعريف الإتحاد $x \in (A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A) \or (x \in B)$
3-
نبرهن: $(x \in A) \and ((x \in B)\or (x \in C)) = ((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))$
بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ $\and$ و $\or$

جدول الحقيقة لـ $(x \in A)\and ((x \in B)\or (x \in C))$
$(x \in A)$	$(x \in B)$	$(x \in C)$	$(x \in B)\or (x \in C)$	$(x \in A)\and ((x \in B)\or (x \in C))$
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	1	0	1	1
0	0	1	1	0
1	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	1	1	1	1

جدول الحقيقة لـ $((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))$
$(x \in A)$	$(x \in B)$	$(x \in C)$	$(x \in A)\and (x \in B)$	$(x \in A)\and (x \in C)$	$((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	1
0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1